QUELQUES FORMULES DE MÉCANIQUE QUANTIQUE BIEN UTILES

Il existe des « relations d'incertitudes » en mécanique quantique. Sur des bases de calcul voisines, voici présentées des relations (de certitude !) permettant d'effectuer des estimations d'ordre de grandeur de quantités physiques.

Christian Magnan Collège de France, Paris Université de Montpellier II

La mécanique quantique manipule des ondes. En effet, pour fonder tout l'édifice de sa théorie elle introduit une fonction appelée «fonction d'onde» en se proposant d'en déterminer la valeur dans chaque contexte.

Or une onde se caractérise par une longueur d'onde L et une période T, qui fixent respectivement l'échelle spatiale et l'échelle temporelle de sa variation. Comme pour se propager d'un point à un autre dans l'espace qu'elle remplit il lui faut un certain temps, on conçoit que tous les points ne sont pas en phase.

Prenons le cas simple d'une onde dont l'amplitude varie sinusoïdalement avec le temps et considérons le déphasage entre un point donné à un instant donné et un autre point situé à une distance x du premier un instant t plus tard. Par définition même de la longueur d'onde et de la période, lorsque x atteint une longueur d'onde L, la phase augmente de $2\pi$. Il en est de même si t atteint une période T.

Pour un point quelconque, là où la coordonnée spatiale vaut x et la coordonnée temporelle vaut t, on écrira donc la phase de l'onde sous la forme

$$\alpha = 2\pi \left[ (x/L) - (t/T)\right] \ .$$ (1)

Par souci de simplicité dans l'exposition, nous avons choisi une onde se propageant dans un milieu à une seule dimension (avec une seule coordonnée x).

De multiples raisons, à vrai dire autant empiriques que théoriques, ont conduit à mettre en correspondance cette phase de l'onde avec une quantité relative au monde classique appelée «action» et que je baptiserai ici volontiers «effort» car il s'agit d'une quantité obéissant à la «loi du moindre effort»: la mécanique montre en effet que la trajectoire d'une particule s'ajuste aux conditions imposées à cette dernière de façon à ce que l'effort - l'action - pour aller d'un point à un autre soit minimum.

Pour rendre quantitative la correspondance postulée entre effort et phase, et c'est ici qu'on fait intervenir la fameuse constante de Planck h, on décrète que l'angle de phase est proportionnel à l'effort en précisant qu'à chaque fois que l'effort augmente de la quantité h l'angle de phase $\alpha$augmente d'un tour, c'est-à-dire de $2\pi$. Autrement dit on fait l'hypothèse formelle

$$\alpha = 2\pi {S \over h} \ .$$ (2)

Or en mécanique classique l'effort S est donné dans le cas ordinaire par l'expression

$$S = px - Et \ ,$$ (3)

où p est l'impulsion de la particule (c'est-à-dire le produit mv de la masse par la vitesse) et E son énergie.

Il suffit alors d'identifier les deux expressions (1) et (2) de l'angle $\alpha$ en tenant compte de cette dernière relation (3) pour aboutir aux deux relations fondamentales qui établissent la correspondance entre des grandeurs relatives à la fonction d'onde quantique (à savoir longueur d'onde et période) et des grandeurs classiques (impulsion et énergie):

$$E = {h \over T}$$ (4)

$$p = {h \over L} \ .$$ (5)

La relation (4) est la plus connue. On l'écrit d'ordinaire un tout petit peu différemment en introduisant la fréquence $\nu$ de l'onde au lieu de sa période T. Comme $\nu = 1/T$, on obtient

$$E = h\nu \ .$$ (6)

Cette formule est d'un intérêt majeur en physique et astrophysique puisqu'elle donne l'énergie d'un photon de fréquence $\nu$ (de longueur d'onde c / $\nu$).

La formule (1) indique que (-$2\pi/T$) est la variation moyenne de l'angle de phase par unité de temps puisque dans le temps T cet angle varie de $-2\pi$. De même ($2\pi/L$) est la variation moyenne de x. Ces quantités sont également les dérivées de l'angle de phase $\alpha$ par rapport, respectivement, au temps t et à l'abscisse x. Autrement dit, en termes symboliques, ($2\pi/T$) et ($2\pi/L$) représentent les opérations $(-\partial/\partial t)$ et $(\partial/\partial x)$.

Ce sont ces définitions que nous retiendrons pour passer du cas d'une onde sinusoïdale au cas général.

Dès lors, en transposant ces valeurs dans les équations (4) et (5), nous établissons les correspondances suivantes

$$E \Longrightarrow -\hbar \frac{\partial}{\partial t}$$ (7)

$$p \Longrightarrow \ \hbar \frac{\partial}{\partial x} \ ,$$ (8)

où $\hbar$ est la constante de Planck divisée par $2\pi$ $(\hbar = h /2\pi)$.

De ces formules découlent des relations utiles pour évaluer des quantités caractéristiques, c'est-à-dire à des quantités caractérisant l'échelle de variation (il y a variation puisqu'il y a «onde») des grandeurs considérés. Il ne s'agit donc pas de déterminer des valeurs précises. Les relations de correspondance entre grandeurs physiques que nous allons obtenir sont très semblables dans la forme aux fameuses relations d'«incertitude» mais, outre qu'elles en fourniront une sorte de compréhension physique, elles permettront de conduire des calculs d'ordre de grandeur.

Pour estimer l'échelle caractéristique X relative à une grandeur x, la base du raisonnement consiste à identifier une opération de dérivation par rapport à x avec une division par X, ce qui paraît physiquement raisonnable puisque faire cette division revient à opérer une moyenne. Autrement dit, $(\partial /\partial t)$ devient l'inverse d'un temps caractéristique et $(\partial/\partial x)$devient l'inverse d'une longueur caractéristique.

En les lisant de cette manière, nous voyons que les formules (7) et (8) associent une énergie E à un temps caractéristique t et une impulsion p=mv à une longueur caractéristique $\lambda$ selon les règles:

$$E = \frac{\hbar}{t}$$ (9)

$$p = \frac{\hbar}{\lambda} \ .$$ (10)

Pour une particule de masse m nous écrirons en outre que la longueur $\lambda$ est le produit de la vitesse v par le temps t: $\lambda = vt$. En combinant cette relation avec les deux formules (9) et (10), nous aboutissons facilement à d'autres équivalences.

Voici alors l'ensemble des relations de correspondance en mécanique quantique. Nous avons:
la longueur $\lambda$ associée à la quantité de mouvement p

$$\lambda = \frac{\hbar}{p} \ ,$$ (11)

la quantité de mouvement p associée à une longueur $\lambda$

$$p = \frac{\hbar}{\lambda} \ ,$$ (12)

la vitesse v associée à une longueur $\lambda$

$$v = \frac{\hbar}{m\lambda} \ ,$$ (13)

l'énergie E associée à une longueur $\lambda$

$$E = \frac{\hbar^2}{m\lambda^2} \ ,$$ (14)

la longueur $\lambda$ associée à une énergie E

$$\lambda = \left(\frac{\hbar^2}{mE}\right)^{1/2} \ ,$$ (15)

la longueur $\lambda$ associée à un temps t

$$\lambda = \left(\frac{\hbar t}{m}\right)^{1/2} \ ,$$ (16)

le temps t associé à une longueur $\lambda$

$$t = \frac{m \lambda^2}{\hbar}$$ (17)

Rappelons les valeurs de la constante de Planck, laquelle s'exprine en (erg s) puisqu'elle est le produit d'une énergie par un temps:
$h = 6,6261\times10^{-27}$ erg s
ou
$\hbar \equiv h/2\pi = 1,0546\times10^{-27}$ erg s

Comme application directe, une annexe explique comment ces formules permettent de prévoir l'existence des trous noirs.

Voici maintenant pour terminer quelques applications numériques (refrain: la physique mesure encore et toujours et ne peut pas théoriser sans numériser!).

À une voiture de 1 tonne (10⁶ grammes) roulant à une vitesse de 100 kilomètres à l'heure ( $2,78\times10^3$ centimètres par seconde) est associée par la formule (11) une longueur $\lambda$ de quelque 10^-37 centimètre, grandeur qu'on peut présenter comme une mesure de l'«incertitude» (quantique) sur la position de la voiture. Cependant cette quantité est tellement insignifiante (bien inférieure à la dimension d'une particule élémentaire) qu'elle ne signifie rien en pratique et que par conséquent, si votre voiture se retrouve contre un arbre, il sera inutile d'invoquer un principe de mécanique quantique pour tenter de dédouaner le conducteur!

De la même façon le diamant de la tour de Londres n'a aucune chance de se retrouver dans votre poche par effet quantique. En effet, en l'observant pendant une année ( $3\times10^7$ secondes) l'échelle de la fluctuation sur la position du diamant est inférieure à $2\times 10^{-11}$ centimètre, soit mille fois moins que la dimension d'un atome!

D'après un extrait du livre de Christian Magnan, La nature sans foi ni loi, Éditions Belfond/Sciences (1988)

Pour fabriquer ce document, j'ai utilisé le traducteur LaTeX2HTML Version 98.1p1 (March 2nd, 1998)

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Dernière modification : 25 août 2009