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Métrique de l'espace-temps autour d'une masse attractive

En mécanique newtonienne on décrit le mouvement d'un corps dans un espace absolu par rapport à un temps absolu, la position du mobile M (fixée par ses coordonnées spatiales dans un certain repère) étant donnée en fonction du temps $t$. La théorie de la relativité déclare qu'il n'existe pas de temps absolu et que ce temps ne peut pas être séparé de l'espace. Elle raisonne sur des événements, chaque événement étant caractérisé par un lieu M et un instant $t$. Quand on suit des événement attachés à un corps libre en mouvement, on parle de ligne d'univers.

Considérons par exemple un vaisseau spatial se déplaçant librement dans l'espace, c'est-à-dire en ayant coupé tous ses moteurs. Nous imaginons qu'il émet des éclairs à intervalles réguliers en accord avec une horloge située dans l'habitacle. Appelons $\tau$ cet intervalle temporel local entre deux éclairs successifs (mesuré donc par rapport au temps propre du vaisseau). Considérons maintenant un autre repère, que l'on peut imaginer comme étant constitué par un ensemble de bouées de l'espace, également libres de toute accélération, fixes les unes par rapport aux autres (chacune reste à la même distance de ses voisines), chacune portant à la fois une indication de sa position (par exemple sa distance à une origine donnée) et sa propre horloge. Les horloges de ce deuxième repère sont synchronisées entre elles. Dans ce repère l'intervalle entre deux éclairs (deux événements) est caractérisé par deux nombres: l'intervalle spatial $s$ et l'intervalle temporel $t$. Pour les trouver il suffit de répérer quelle bouée est en face de l'éclair no1 et quelle est celle en face de l'éclair no2 et de noter l'heure des événements.

Le principe sur lequel se fonde la relativité restreinte est le suivant. L'intervalle de temps propre $\tau$ entre l'événement no1 et l'événement no2 est donné par la formule

\begin{displaymath}
\tau^2 = t^2 - s^2
\end{displaymath} (1)

et cette quantité est indépendante du repère choisi. Autrement dit, toutes les observatrices s'accordent sur la valeur de $\tau$ ainsi calculée, bien que les valeurs de $s$ et de $t$ différent d'un système de repérage à l'autre.

Remarque importante: sauf indication contraire, et c'est le choix qui a été fait en écrivant l'équation (1), les distances seront exprimées ici en unités de temps (comme on le fait souvent en astronomie). Si on utilisait au contraire une distance $s$ exprimée en unités «courantes», par exemple en centimètres, on devrait passer de cette dernière à notre distance $s$ exprimée en secondes par la formule $s\mbox{(en secondes)}=s\mbox{(en centimètres)/c}$$c$ est la vitesse de la lumière en unités courantes, soit $3\times10^{10}$ cm/s. (La convention (commode!) d'exprimer distance et temps dans une même unité équivaut à prendre la vitesse de la lumière égale à l'unité.)

En relativité générale, le principe selon lequel l'intervalle de temps propre est indépendant du repère choisi reste valable, mais seulement localement, c'est-à-dire à condition de rester à l'intérieur d'une région suffisamment petite de l'espace-temps (la taille dépendant de la précision requise). La nouveauté principale concerne l'expression du temps propre donné par la formule (1), laquelle s'exprimera en fonction de coefficients dépendant du point considéré de l'espace-temps et prendra le nom de métrique. En fait toute la structure de l'espace-temps, et notamment sa courbure, est contenue dans l'expression locale de $\tau$ et dans la forme des coefficients qu'elle contient.

Nous nous intéressons ici à la structure de l'espace-temps autour du Soleil. Pour écrire les choses localement nous considérons deux événements voisins, séparés par un écart infinitésimal des coordonnées temporelle et spatiales $dt$, $dx$, $dy$ et $dz$. Si l'espace était plat, la métrique serait de la forme

\begin{displaymath}(d\tau)^2 = (dt)^2 - (dx)^2 - (dy)^2 - (dz)^2\end{displaymath}

qu'on écrit rapidement (et un peu incorrectement) par convention sous la forme
\begin{displaymath}d\tau^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\end{displaymath} (2)

En coordonnées sphériques, dans un plan passant par le centre du Soleil (ce qui supprime une coordonnée spatiale), cette formule devient

\begin{displaymath}d\tau^2 = dt^2 - dr^2 - r^2 d\phi^2\end{displaymath}

où r représente la distance au centre et $\phi$ un angle azimutal dans le plan considéré (voir la figure ci-dessous) .

coordonnées polaires

Mais l'espace-temps autour d'un astre gravitant de masse $M$ (trou noir, voisinage du Soleil) n'est pas plat. Il est décrit par la métrique de Schwarzschild

\begin{displaymath}
d\tau^2 = (1 - 2M/r) dt^2 - (1 - 2M/r)^{-1} dr^2 - r^2 d\phi^2
\end{displaymath} (3)

Extasions-nous: TOUTE la structure de l'espace-temps est contenue dans cette "simple" formule (3). Même le fameux trou noir est tapi derrière ces symboles.

Remarque: en quelle unité est exprimée la masse $M$ dans cette formule? On voit que $M$ a les dimensions d'une longueur, grandeur que nous exprimons ici en secondes. Donc $M$ est exprimée en secondes, la formule de conversion entre la masse en grammes et la masse en secondes étant

\begin{displaymath}M{\mbox{(en secondes})} = (G/c^3) M{\mbox{(en grammes)}}\end{displaymath}

$(G/c^3) = 2,5\times10^{-39}\ \mbox{s/g}$.


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Christian Magnan
2007-01-09

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