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Énergie d'une particule

Appliquons le principe de maximisation de l'intervalle de temps propre de la façon suivante. Supposons qu'un vaisseau spatial dont les moteurs sont coupés tombe vers la masse attractive centrale selon une orbite radiale (donc rectiligne). Trois éclairs successifs voisins dans le temps et dans l'espace sont émis dans la cabine. Nous observons ces trois événements dans un certain repère extérieur. Dans ce dernier l'événement $E_1$ consiste en l'émission d'un éclair au temps $t = 0$ quand la cabine spatiale se trouve au rayon $r_1$. L'éclair $E_2$ est émis au temps $t$ quand la cabine est au rayon $r_2$. L'éclair $E_3$ est émis au temps $T$ quand la cabine est en $r_3$. La quantité $T$ est supposée petite. Nous supposons alors que nous faisons varier les coordonnées de l'événement intermédiaire $E_2$. Le principe de maximisation du temps propre énonce que la géodésique partant de $E_1$ et aboutissant en $E_3$ passera par l'événement $E_2$ rendant maximum l'intervalle temporel propre
\begin{displaymath}
\tau = \tau_A + \tau_B,
\end{displaymath} (4)

$\tau_A$ mesure l'intervalle sur le premier segment $A$ de l'espace-temps reliant $E_1$ et $E_2$ et $\tau_B$ mesure l'intervalle temporel sur le second segment $B$ reliant $E_2$ et $E_3$.

Pour ne pas faire tout varier à la fois, nous supposons dans cette expérience que la position des rayons $r_1$, $r_2$ et $r_3$ est fixée et que seul l'instant $t$ où est émis l'éclair no2 varie. D'après la formule (3) l'intervalle temporel propre pour le premier segment $A$ est donné par son carré

\begin{displaymath}
{\tau_A}^2 = (1 - 2M/r_A) t^2 + \mbox{(termes ne contenant pas $t$)}
\end{displaymath} (5)

d'où on déduit
\begin{displaymath}
\tau_A d\tau_A = (1 - 2M/r_A)tdt
\end{displaymath} (6)

Le temps écoulé sur le segment $B$ entre les événements $E_2$ et $E_3$ est $(T-t)$, et par conséquent la durée propre $\tau_B$ est donnée par

\begin{displaymath}
{\tau_B}^2 = (1 - 2M/r) (T - t)^2 + \mbox{(termes ne contenant pas $t$)}
\end{displaymath} (7)

d'où on déduit
\begin{displaymath}
\tau_B d\tau_B = - (1 - 2M/r_B)(T-t) dt.
\end{displaymath} (8)

Pour rendre maximum l'intervalle temporel total $\tau = \tau_A + \tau_B$ par rapport à une variation $dt$ du temps $t$, nous écrivons

\begin{displaymath}
\frac{d\tau}{dt} = \frac{d\tau_A}{dt} + \frac{d\tau_B}{dt} = 0
\end{displaymath} (9)

En tirant $d\tau_A$ et $d\tau_B$ des équations (6) et (8) et en posant de façon toute naturelle $t=t_A$ et $T-t = t_B$, il vient facilement
\begin{displaymath}
(1 -2M/r_A) (t_A/\tau_A) = (1 - 2M/r_B) (t_B/\tau_B)\ .
\end{displaymath} (10)

Le membre de gauche de cette équation ne dépend que des paramètres du premier segment A (connectant $E_1$ à $E_2$), le membre de droite ne dépend que de ceux du second segment B (connectant $E_2$ à $E_3$).

La quantité mise en évidence dans l'équation (10) ne dépend pas du segment choisi pour la calculer. C'est donc une constante du mouvement de la particule libre considérée. De bonnes raisons physiques (en particulier pour retrouver les formules de la relativité restreinte) conduisent à identifier cette constante comme le rapport de l'énergie du corps en mouvement à sa masse. Nous écrivons donc ce résultat capital sous la forme

\begin{displaymath}
E/m = (1-2M/r) (dt/d\tau)
\end{displaymath} (11)

expression dans laquelle nous sommes revenus à la notation différentielle pour les intervalles $t$ et $\tau$.

Incidemment on remarque qu'avec les unités que nous avons choisies, l'énergie $E$ et la masse $M$ s'expriment avec la même unité, par exemple la seconde.


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Christian Magnan
2007-01-09

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