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Moment angulaire de la particule

Nous avons appliqué le principe de maximisation de l'intervalle temporel propre en faisant varier le temps de l'événement intermédiaire. Recommençons la même opération mais en faisant varier cette fois l'angle $\phi$ de cet événement, angle servant à repérer la direction du mobile par rapport à une direction origine et que nous appellerons azimut. Nous considérons à nouveau trois événements consistant en l'émission d'un éclair à l'intérieur d'un vaisseau spatial flottant librement dans l'espace. Le premier segment $A$ relie l'événement $E_1$ à l'événement $E_2$. Le segment $B$ relie $E_2$ à $E_3$. L'angle du premier événement est fixé à $\phi=0$, l'angle du dernier à $\phi = \Phi$ tandis que l'angle intermédiaire est pris comme variable, et égal à $\phi$. De nouveau, pour ne pas faire varier tout à la fois, nous supposons que le rayon $r$ auquel l'éclair no2 est émis reste toujours le même.

Le raisonnement se développe comme dans la section précédente. D'après la métrique (3), l'intervalle temporel $\tau_A$ sur le premier segment est donné par son carré

\begin{displaymath}
{\tau_A}^2 = - {r_A}^2 \phi^2 + \mbox{(termes ne contenant pas $\phi$)}
\end{displaymath} (12)

et l'intervalle $\tau_B$ sur le second par
\begin{displaymath}
{\tau_B}^2 = - {r_B}^2 (\Phi - \phi)^2 + \mbox{(termes ne contenant pas $\phi$)}
\end{displaymath} (13)

d'où il vient
$\displaystyle \tau_A d\tau_A$ $\textstyle =$ $\displaystyle -{r_A}^2\phi d\phi$ (14)
$\displaystyle \tau_B d\tau_B$ $\textstyle =$ $\displaystyle {r_B}^2(\Phi - \phi) d\phi$ (15)

On écrit que $d\tau/d\phi = d(\tau_A + \tau_B)/d\phi = 0$ et on obtient facilement, de façon analogue à l'équation (10)
\begin{displaymath}
{r_A}^2 \phi_A/\tau_A = {r_B}^2 \phi_B/\tau_B
\end{displaymath} (16)

en ayant posé tout naturellement $\phi=\phi_A$ et $\Phi - \phi = \phi_B$. Le membre de gauche, qui ne contient que des termes relatifs au premier segment, est égal à celui de droite, qui ne contient que des termes relatifs au second segment). Nous exhibons ainsi une autre constante du mouvement, à savoir $r^2d\phi/d\tau$ (en repassant à la notation différentielle), que l'on est conduit à identifier avec le rapport du moment angulaire $L$ de la particule à sa masse $m$, ce que nous écrivons
\begin{displaymath}
L/m = r^2 (d\phi/d\tau)
\end{displaymath} (17)


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Christian Magnan
2007-01-09

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