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Calcul de la trajectoire

Techniquement parlant, la trajectoire d'un mobile libre d'accélération par moteur est déterminée comme suit. Connaissant l'énergie $E$ et le moment angulaire $L$ de la "particule" de masse $m$ ($E$ et $L$ dépendent des conditions intiales) nous pouvons suivre la position de cette particule en incrémentant ses coordonnées temporelle $t$ et spatiale $r$ et $\phi$ au fur et mesure que son horloge propre compte le temps $\tau$. Algébriquement, pour chaque incrément de temps propre $d\tau$, nous calculons (ou l'ordinateur calcule) les incréments $dt$, $dr$ et $d\phi$ des coordonnées du mobile. Les carrés des incréments $dt$ et $d\phi$ sont déduits des équations (11) et (17) sous la forme
$\displaystyle dt^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle (E/m)^2 (1-2M/r)^{-2} d\tau^2$ (18)
$\displaystyle d\phi^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle (L/m)^2 r^{-4} d\tau^2$ (19)

Il nous manque l'expression de $dr$. Nous l'obtenons en portant ces valeurs de $dt$ et $d\phi$ dans l'équation (3) de la métrique et en résolvant en fonction de $dr$, ce qui donne

\begin{displaymath}
dr^2 = \left\{ (E/m)^2 - (1 - 2M/r)[1 + (L/m)^2r^{-2}]\right\} d\tau^2
\end{displaymath} (20)

En faisant le rapport membre à membre des équations (20) et (19), on aboutit directement à l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires

\begin{displaymath}
\left(\frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \left(\frac{...
...right) \left[\left(\frac{m}{L}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\right]
\end{displaymath} (21)


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Christian Magnan
2007-01-09

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