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Trajectoire de la lumière

Appliquer directement à un photon le traitement précédent semble impossible. En effet nous avons calculé la trajectoire en fonction de l'incrémentation du temps propre, or ce concept n'a pas de sens pour la lumière puisque l'intervalle entre deux événements situés le long de la ligne d'univers d'un photon est toujours nul (comme à la vitesse de la lumière on a $s = t$, l'intervalle $\tau^2 = t^2 - s^2$ s'annule).

Cependant il se trouve qu'en considérant un corps dont on fait tendre la masse vers zéro on aboutit à des résultats corrects. Ainsi pour $m=0$ notre équation (21) devient

\begin{displaymath}
\left(\frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \left(\frac{E}{L}\right)^2 - \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{1}{r^2}
\end{displaymath} (22)

C'est cette équation qui va nous permettre de calculer la déviation des rayons lumineux près du Soleil.

Mais précisons les paramètres intervenant dans les formules. Tout d'abord le moment angulaire du mobile évalué à l'infini est par définition le produit de son moment linéaire $p$ par ce que l'on appelle le "paramètre d'impact", noté $b$ et représentant la distance du centre attractif (ici le Soleil) à la directon incidente de la particule en chute libre (voir la figure).

Autrement dit

\begin{displaymath}
L = p\ b
\end{displaymath} (23)

On sait d'autre part que la quantité de mouvement $p$ d'un photon est égale à son énergie $E$. On en déduit immédiatement que
\begin{displaymath}
L/E = b .
\end{displaymath} (24)

Autrement dit le rapport $L/E$ est égal au paramètre d'impact $b$ et l'équation (22) s'écrit comme
\begin{displaymath}
\left(\frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \frac{1}{b^2} - \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{1}{r^2}
\end{displaymath} (25)


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Christian Magnan
2007-01-09

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