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Calcul de l'angle de déviation

La formule (25) va nous permettre maintenant de calculer de quel angle un rayon lumineux dévie lorsqu'il passe auprès du Soleil. Pour ce faire il faut faire la somme de toutes les incrémentations élémentaires $d\phi$ le long du trajet, c'est-à-dire calculer l'intégrale de $(d\phi/dr)dr$ lorsque r varie entre la distance minimum que nous noterons $R$ ($R$ est le rayon du Soleil si le rayon lumineux rase l'astre). Il convient encore de multiplier par 2 pour tenir compte des deux trajets symétriques que constituent l'approche et l'éloignement du photon.

Il faut préciser un dernier point: la relation entre les deux quantités $b$ et $R$ que nous avons introduites, et qui, bien entendu, ne sont pas indépendantes. Le point $r=R$ correspond au point où le photon lumineux passe le plus près du Soleil. En ce point, le mouvement du photon est donc purement tangentiel. Ne contenant aucune composante tangentielle, nous pouvons écrire qu'en ce point la dérivée $dr/dt$ est nulle. Il suffit de prendre le $dr$ déduit de l'équation (25) pour trouver

\begin{displaymath}
\frac{1}{b^2} = \left(1 - \frac{2M}{R}\right) \frac{1}{R^2}
\end{displaymath} (26)

et cette même équation (25) devient
\begin{displaymath}
\left(\frac{1}{r^2} \frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \left(1 - \f...
...ght)\frac{1}{R^2} -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{1}{r^2}
\end{displaymath} (27)

La forme de l'expression nous dicte de poser

\begin{displaymath}u = R/r\end{displaymath}

$u$ varie entre 1 et 0. La dernière équation devient alors
$\displaystyle (du/d\phi)^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle (1 - 2M/R) - (1 - 2Mu/R) u^2$  
  $\textstyle \mbox{ou}$    
$\displaystyle (du/d\phi)^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 - u^2 -(2M/R)(1 - u^3)$ (28)

Par conséquent la variation $d\phi$ de l'azimut est donnée en fonction de la variation $du$ de $R/r$ par

$\displaystyle d\phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle [1 - u^2 - (2M/R)(1 - u^3)]^{-1/2}\ du$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(1-u^2)^{-1/2} du }{[1 - (2M/R)(1-u^3)(1 - u^2)^{-1}]^{1/2}}$ (29)

La présence du terme $(1 - u^2)$ dans l'expression (29) nous engage à faire le changement de variable

\begin{displaymath}u = \cos \alpha , \ 0<u<1, \ 0<\alpha<\pi/2\end{displaymath}

lequel conduit à
\begin{displaymath}
d\phi = \left[1 - (2M/R)(1 - \cos^3\alpha)\sin^{-2}\alpha \right]^{-1/2} d\alpha
\end{displaymath} (30)

En notant que

\begin{displaymath}\frac{1 - \cos^3\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{(1 -\cos\alpha)...
...s\alpha)(1+\cos\alpha)} = \cos\alpha + \frac{1}{1 + \cos\alpha}\end{displaymath}

nous aboutissons à l'équation finale de la trajectoire sous la forme
\begin{displaymath}
d\phi=\left[1 - (2M/R)\left( \cos\alpha + \frac{1}{1+\cos\alpha}\right)\right]^{-1/2}d\alpha
\end{displaymath} (31)

avec

\begin{displaymath}\cos\alpha = R/r\end{displaymath}

Il est intéressant de noter que jusqu'à ce point nous n'avons fait aucune approximation.


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Christian Magnan
2007-01-09

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