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Approximations et intégration

La petitesse du terme $M/R$ va nous permettre de faire une approximation et de terminer ainsi l'intégration. En unités courantes la masse du Soleil est de $2\times10^{33}$ grammes et son rayon est de $7\times10^{10}$ centimètres. En utilisant le facteur $G/c^2 = 7,4\times10^{-29}$ cm/g permettant de passer des grammes aux centimètres, on a

\begin{displaymath}M/R = (G/c^2) M(\mbox{en grammes})/R(\mbox{en centimètres}) = 2 \times 10^{-6}\end{displaymath}

Dans l'équation (31) nous pouvons donc utiliser l'approximation classique $(1 + \epsilon)^p \simeq 1 + p\,\epsilon$ pour aboutir à

\begin{displaymath}
d\phi = \left[1 + (M/R)\left( \cos\alpha + \frac{1}{1+\cos\alpha}\right)\right] d\alpha
\end{displaymath} (32)

Par conséquent la variation totale de l'azimut $\phi$ sur le trajet du photon est
$\displaystyle \phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2 \int_0^{\pi/2} \left[1 + (M/R)\left( \cos\alpha + \frac{1}{1+\cos\alpha}\right)\right] d\alpha$ (33)
  $\textstyle =$ $\displaystyle 2 \left[ \alpha + \frac{M}{R}\left(\sin\alpha + \tan\frac{\alpha}{2}\right) \right]_0^1$ (34)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \pi + 4M/R$ (35)

angle de déflexion

Le premier terme $\pi$ représente la variation totale de l'azimuth du photon en l'absence de Soleil, le photon se propageant alors en ligne droite. C'est le second terme qui fournit la déviation additionnelle $\Delta\phi$ par rapport à cette ligne droite (voir figure ci-dessus)

$\displaystyle \Delta\phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle 4 M/R$ (36)
$\displaystyle \mbox{ou en unités courantes}$      
$\displaystyle \Delta\phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle 4 (G/c^2) M(\mbox{grammes})/R(\mbox{centimètres})$ (37)

Numériquement, à la surface du Soleil, avec les valeurs déjà indiquées de la masse et du rayon solaires, on trouve $\Delta\phi = 8,5 \times 10^{-6}$ radian, ou (puisque $\pi$ radians valent 180 degrés)

\begin{displaymath}\Delta\phi = 1,75''\end{displaymath}


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Christian Magnan
2007-01-09

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