COMMENT REPRÉSENTER LES NOMBRES PHYSIQUES ?

Pour représenter les nombres physiques on utilise l'échelle des puissances de dix (dite aussi échelle « logarithmique »). Sur cette échelle ces nombres ont l'air tout petits.

Christian Magnan Collège de France, Paris Université de Montpellier II

Les nombres que le physicien récolte dans la nature soulèvent d'emblée un problème : leurs ordres de grandeurs se révèlent si différents qu'il est impossible de les exprimer tous par des nombres décimaux de taille réduite (disons de quelques chiffres). Si un certain choix d'unité (par exemple le kilomètre) convient pour telle grandeur (la distance entre deux villes), cette même unité se révèlera inadéquate pour une autre, en fournissant des nombres ou trop grands ou trop petits. Comment mesurer à la fois, par exemple, l'Univers astronomique et l'électron ? Comment trouver une commune mesure aux deux ? La difficulté vient d'une différence de proportions : le rapport des dimensions de l'Univers à celle de l'électron est si grand qu'il dépasse l'échelle sur laquelle nous comptons de façon très élémentaire en énonçant un nombre après l'autre, 1, 2, 3, 4, etc. En d'autres termes, on ne peut pas construire les dimensions de l'Univers directement à partir de celles de l'électron, en les ajoutant un nombre convenable de fois (au temps des bizutages, on demandait aux étudiants de mesurer la largeur de la place de la Concorde avec une allumette !).

Les dimensions de l'Univers ne peuvent pas se ramener à celles de l'électron par additions successives.

Bien entendu, le physicien n'en est pas resté à ce constat d'échec. S'il s'était contenté de qualifier tel rapport de « considérablement grand », d'« astronomique », d'« infiniment grand » ou d'« incommensurable », il aurait abdiqué toute chance de communiquer avec le monde réel puisque sa démarche d'appréhension de la réalité passe forcément par la mesure. Il lui fallait imaginer une échelle de mesure sur laquelle il puisse à nouveau compter. Il inventa donc l'échelle « logarithmique » (ce mot, forgé à partir du grec signifie « mesure des rapports »), dont l'un des aspects, notamment dans le contexte qui nous intéresse ici, est constitué par l'échelle des puissances de 10.

Cette échelle des puissances de 10 est contenue dans la notation décimale, qui, dans le fond, résout en partie le problème posé, à savoir de représenter un nombre sans se contenter de juxtaposer des unités, comme on alignerait des allumettes les unes à côté des autres.

La notation romaine, qui se contentait d'accoler des signes numériques les uns aux autres, se révéla absolument incapable de représenter les nombres que réclamait l'étude rationnelle du monde. La nouveauté géniale de la notation décimale (qui allait permettre le développement de la science) est de reconnaître pour un même chiffre le pouvoir de représenter des ordres de grandeur différents selon le rang qu'occupe le chiffre en question. C'est la virgule qui permet d'attribuer son rang à chaque chiffre. Par convention, le premier chiffre avant la virgule indique les unités, le second en remontant vers la gauche indique les dizaines (une dizaine est dix unités), puis ce sera le rang des centaines (une centaine est dix dizaines) et ainsi de suite. Un décalage d'un rang vers la gauche correspond à la « puissance » de dix immédiatement supérieure (c'est-à-dire représentant des nombres dix fois supérieurs à ceux de l'ordre précédent).

Les chiffres qui suivent la virgule vers la droite correspondent successivement aux dixièmes (dixièmes d'unités), aux centièmes (dixièmes de dixièmes), aux millièmes (dixièmes de centièmes), et ainsi de suite en passant cette fois à un ordre de grandeur dix fois plus petit à chaque décalage à droite.

Cependant, une difficulté demeure : au fur et à mesure que l'on construit des nombres de plus en plus grands, ou de plus en plus petits (en rajoutant des zéros à droite de la virgule), il est nécessaire d'utiliser de plus en plus de chiffres, ce qui conduit à des nombres de taille encore imposante, ce que précisément nous voulions éviter.

L'idée est de simplifier la notation précédente en mettant à profit la notion de « puissance de dix » que nous allons découvrir. On réalisera vite sur les exemples suivants ce qui est peu économique dans la notation décimale. Dans le nombre 0,000 000 003 24, on compte neuf zéros qui ne servent qu'à dire que le chiffre par lequel commence le nombre, ici le 3, occupe le neuvième rang. Dans le nombre 773 980 000 000 000,0 le premier chiffre, 7, occupe le quinzième rang à gauche de la virgule. Ce qui est peu efficace dans cette notation, c'est cette obligation de repérer le rang d'un chiffre en allant jusqu'à la virgule, à droite comme à gauche d'ailleurs. Du même coup on se voit obligé d'introduire des chiffres parasites, notamment des zéros supplémentaires.

La notation scientifique s'affranchit de ce gaspillage de chiffres en indiquant tout simplement en clair le numéro d'ordre du chiffre dont il faut repérer l'ordre. Par convention les unités  ont pour rang 0, les dizaines le rang 1, et ainsi de suite. À droite de la virgule, pour les puissances inférieures à l'unité, on utilise des rangs « négatifs » que l'on affecte du signe « - ». Les dixièmes auront pour rang -1, les centièmes -2, etc. Dans les exemples précédents le rang du premier chiffre non nul (à savoir le 3) était -9 dans le premier cas. Le rang du premier chiffre (à savoir 7) était +14 dans le second exemple (la première place a pour rang 0, donc la quinzième aura pour rang 14).

Ce numéro d'ordre, la puissance de 10, est noté de façons différentes selon les moyens d'affichage dont on dispose. Normalement on place cette puissance en exposant du nombre 10, comme dans 10⁺¹⁴ ou 10^-9, mais la ligne supplémentaire ainsi introduite peut créer des difficultés typographiques (dans un document lu sur le web, cette difficulté n'est pas mineure). Dans de nombreux cas l'exposant doit être placé sur la même ligne que la mantisse et pour le distinguer du reste on utilise des moyens variés, par exemple en l'enserrant dans des parenthèses, comme dans « 4,563(11) », ou en le faisant précéder d'un caractère non numérique (E, e ou simplement + ou -), comme dans « 3,998E17 » ou « 7,31e-22 », etc. Quand on le peut, il est assez commode de conserver la notation classique, pour écrire des nombres tels qu 2,80051×10⁷ ou 4,80123×10^-17, cette forme indiquant donc dans le premier cas que le rang du premier chiffre est 7 en partant de la virgule (en comptant toujours à partir de 0 !) et dans le deuxième cas que le premier chiffre non nul après la virgule a pour rang 17. On remarque que 10ⁿ c'est 1 suivi de n zéros et que 10^-n, c'est 1 précédé de n zéros (en comptant celui que l'on place avant la virgule). Ainsi 10⁵ c'est 100 000 et 10^-4 c'est 0,0001.

L'échelle des puissances de dix a une propriété fondamentale : à une multiplication sur les puissances correspond une addition sur les exposants et à une division de ces mêmes puissances correspond une soustraction des exposants. C'est cette propriété qui a la vertu de réaliser la formidable réduction d'échelle dont le physicien avait besoin tout à l'heure et qui se produit lorsqu'on passe des nombres eux mêmes, à savoir les puissances de dix, à leurs exposants. Ainsi 100, 1 suivi de deux 0, donc 10² (qu'on lit « 10 puissance 2 ») est bien 10 fois 10, mais sur les exposants, l'opération de multiplication 10×10 se traduit pas l'addition 1+1=2. Et 100 fois 100, ou 10 000, un nombre déjà appréciable, ne se traduit que par l'exposant 2+2=4 : 10 000, c'est 10⁴. Cette échelle des exposants de 10 (dite logarithmique, car dans une théorie complète 4 est le logarithme de 10⁴), peut se visualiser comme une véritable « échelle » sur les barreaux de laquelle nous nous déplacerions, montant et descendant pour, respectivement, multiplier et diviser. C'est grâce à elle que les physiciens peuvent mesurer les nombres en traduisant numériquement d'une façon convenable les ordres de grandeur extraordinairement différents auxquels ils se trouvent confrontés.

Le plus remarquable, c'est que sur cette échelle logarithmique des exposants, on puisse compter pour ainsi dire « sur les doigts de la main » car ces exposants restent parfaitement raisonnables et susceptibles même d'être visualisés en alignant (si on le désirait) des allumettes, ce qui était rigoureusement impossible pour les nombres eux-mêmes.

Plus concrètement, il est utile de retenir que, grosso modo, les exposants de 10 sont en physique des nombres de deux chiffres seulement. Ce qui revient à dire que sur notre échelle logarithmique, il suffit de compter de 1 à 99, et, dans l'autre sens, également de -1 à -99. Je ne manque pas de souligner ce fait incontestable à l'intention de certains scientifiques qui se permettent, de façon complètement illégitime, de parler d'infini en physique, notamment à propos de l'Univers : ils sortent manifestement des limites concrètes du monde réel.

Amusons-nous, pour illustrer le principe d'addition des exposants lors de multiplications, à « compter » le nombre d'atomes dans tout l'Univers, l'un des plus grands nombres que la physique connaisse. Une étoile a une masse de l'ordre de 10³³ grammes. Sachant que chaque gramme de cette matière contient environ 10²⁴ atomes, le nombre total d'atomes dans l'étoile sera obtenu en multipliant entre eux les deux nombres précédents, ce qui donne 10⁵⁷, en ayant ajouté les exposants (33+24=57) (ou en montant 24 barreaux de l'échelle à partir du 33ième). Combien y a-t-il d'étoiles dans une galaxie ? Mettons 10 milliards en moyenne, 10¹⁰. Pour faire les multiplications voulues, nous continuons à additionner les exposants : 57+10=67. Donc 10⁶⁷ atomes par galaxie. Combien de galaxies dans l'Univers ? Peut-être 10¹¹ ou 10¹². Nous en arrivons à quelque 10⁷⁹. Parlons en chiffres ronds, la valeur « exacte » (si tant est que cela ait un sens) important peu et seule comptant l'illustration d'un principe de calcul : le nombre d'atomes dans tout l'Univers se mesure par l'exposant 80, par seulement 80 ! Certes, il s'agit d'un logarithme, c'est-à-dire d'un numéro d'ordre, d'un exposant, mais tout de même c'est peu. Alors que le nombre en question, « 10⁸⁰ », est proprement inconcevable et impossible à construire à partir de la juxtaposition de nombres à notre échelle humaine, sa représentation en puissances de 10 semble toute petite.

Cette commodité à deux aspects contradictoires. D'une part, il faut saluer la force de la science qui a réussi à mesurer, et de ce fait à mettre en quelque sorte à notre portée, un nombre qui dépasse l'imagination. Mais d'autre part, il faut de méfier de cette facilité ainsi introduite car elle entraîne qu'on peut trop facilement quitter l'échelle réelle en jouant inconsidérément avec les exposants. Par exemple, une puissance de 10 dont l'exposant frise le milliard ne peut avoir aucun rapport avec une grandeur physique. Ainsi une distance de 10^{1 000 000 000}secondes de lumière ne peut pas correspondre à une longueur réelle.

Indiquons en passant que les logarithmes ne se limitent pas aux seuls exposants de 10, donc aux seuls barreaux de l'échelle, mais qu'entre ces nombres, entiers donc, se glissent tous les nombres intermédiaires possibles (c'est-à-dire l'ensemble des réels). De cette sorte, il est possible d'associer à tout nombre, même s'il n'est pas une puissance de 10 « toute ronde » comme 10¹³ ou 10^-17, son propre logarithme. Nous verrons ailleurs des exemples d'utilisation.

À l'époque des calculettes, il est facile de se faire une idée disons expérimentale de l'échelle logarithmique en jouant avec les touches adéquates. Vous remarquerez à ce propos, en examinant votre calculette, qu'on utilise couramment deux sortes de logarithmes et de puissances (il en existe autant de sortes qu'on veut en principe), les logarithmes à base 10, décimaux, dont nous venons de parler, et souvent notés « log » ou « log₁₀ », et les logarithmes dits népériens (du nom de John Napier ou Neper) ou naturels, et notés « Log » ou « Ln ». Ces logarithmes correspondent respectivement aux puissances de 10 (touche « 10^x » en général) et aux puissances d'un nombre mathématique désigné universellement par la lettre « e », puissances appelées exponentielles (à base e) et calculables grâce à la touche « e^x » selon l'identification la plus courante.

Résumons. Les nombres physiques se situent sur des échelles de grandeur si différentes qu'ils sont inimaginablement grands ou petits. Cependant sur l'échelle des puissances de 10, on peut les domestiquer et effectuer des calculs sur des exposants de deux chiffres seulement.

À suivre.

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