LE ZÉRO ET L'INFINI N'EXISTENT PAS EN PHYSIQUE

Le zéro et l'infini, concepts mathématiques, ne se trouvent pas sur l'échelle des nombres physiques.

Christian Magnan Collège de France, Paris Université de Montpellier II

L'échelle logarithmique est l'échelle sur laquelle les physiciens mesurent leurs nombres. Examinons ses propriétés significatives, susceptibles de nous éclairer sur la nature des relations entre la théorie et la réalité.

L'une des premières questions est la suivante : quelle est l'étendue de l'intervalle sur lequel varie un logarithme ? Théoriquement parlant, dans une optique disons mathématique qui ne se soucie pas de la réalité, la réponse est claire : un logarithme varie sur un intervalle illimité, illimité et « vers la droite » et « vers la gauche », en convenant de visualiser cet intervalle par une droite horizontale. Cela signifie qu'on peut toujours construire dans l'abstrait un logarithme plus grand que n'importe quel autre déjà arbitrairement grand. Il suffit pour cela, par exemple, de rajouter une unité à celui que l'on veut dépasser. De même on pourra toujours fabriquer un logarithme plus petit qu'un autre, aussi petit que soit ce dernier, en lui retranchant par exemple une unité. Dans ce dernier cas, il est bon de préciser le sens de « plus petit ». J'entends ici « plus petit » au sens algébrique, au sens où le nombre négatif -67 est plus petit que le nombre -50. Mais comme il s'agit de nombres négatifs, on remarque que ces nombres algébriquement de plus en plus petits sont de plus en plus grands en valeur absolue (67 est plus grand que 50). De la sorte, si on met à part le signe du logarithme, + ou -, on trouve bien des deux côtés de l'échelle des nombres qui deviennent aussi grands que l'on veut.

On résume ces résultats en disant qu'un logarithme varie entre - et +, ce qui se lit « entre moins l'infini et plus l'infini ». Attention cependant : l'expression peut vraiment prêter à confusion car elle semble impliquer que l'infini (noté ) serait un nombre accessible. Or ce n'est pas le cas : l'infini n'est même pas un nombre (sinon, ce ne serait plus l'infini !) et donc le problème de l'atteindre ou non ne se pose pas. L'infini est un concept mathématique dont la signification (évoquée ci-dessus) est, en ce qui nous concerne ici, très simple. En effet dire qu'une variable peut tendre vers l'infini (on parlera par abus de langage d'une variable infinie) veut dire que quelle soit la limite que l'on se fixe arbitrairement, disons le nombre A, la variable pourra prendre une valeur supérieure à A, par exemple A+1 ou 2×A. Remarquons précieusement que cette nouvelle valeur, si grande soit elle, sera forcément un nombre fini !

L'infini n'est pas un objet qui se situerait à la frontière d'un intervalle « infini ». C'est seulement la propriété de cet intervalle telle que nous venons de la définir.

Une autre caractéristique importante de l'échelle logarithmique réside en sa symétrie. Comme l'échelle s'étend d'un côté de 0 à - et de l'autre de 0 à +, à tout logarithme correspondra un logarithme de même valeur absolue mais de signe contraire : par exemple au logarithme 4,5467 du côté des valeurs positives sera associé -4,5467 du côté négatif. Propriété fondamentale de l'échelle : à ces deux logarithmes opposés se rapporteront sur l'échelle des puissances deux nombres inverses l'un de l'autre, tous les deux positifs, l'un supérieur à 1, l'autre inférieur à 1. Ainsi dans l'exemple choisi, 10^4,5467 est, d'un coup de calculette (touche « 10^x »), 35 212,754 59. alors que 10^-4,5467 est l'inverse 1/35 212,754 592, soit 2,839 880 071×10^-5.

Que les réfractaires aux calculs se rassurent ! Ils peuvent oublier les détails de ce qui précède et passer à l'essentiel sans ennui.

Ce qu'il faut retenir, c'est que d'un côté on trouve tous les nombres inférieurs à 1 (mais restant positifs, donc compris entre 0 et 1) dotés de logarithmes négatifs et de l'autre les nombres supérieurs à 1 dotés de logarithmes positifs. Le pivot de l'échelle est donc, chose essentielle, 1 pour les nombres à mesurer et 0 pour les logarithmes correspondants. On remarque que les puissances (c'est-à-dire les nombres à mesurer) sont toujours positives, ce qui revient à dire que sur l'échelle logarithmique on ne peut que mesurer des nombres positifs. Vous vérifierez facilement ce fait : la fonction 10^x ou e^x fournit toujours un résultat positif, quelle que soit la valeur et quel que soit le signe de x. En sens inverse, si vous essayez de calculer le logarithme d'un nombre négatif, votre calculette scientifique - à moins qu'elle n'introduise des nombres complexes - affichera une erreur et refusera de faire un calcul impossible. Tout cela est naturel : un vrai nombre, au sens où nous l'entendons ici pour désigner l'entité qui traduit une mesure physique, ne peut être que positif, justement. Ce que l'on appelle « nombre négatif » n'est qu'un objet mathématique qui ne peut pas être mis en rapport avec une grandeur physique. J'estime que ceux qui considèrent que les nombres négatifs et, pire, les nombres complexes (baptisés encore imaginaires !) existent se trompent car ils confondent l'arsenal théorique et la réalité. Ce n'est pas parce que nous savons manipuler des concepts au demeurant indispensables à notre connaissance du monde que ces concepts sont d'office des composants du réel.

D'après la symétrie décrite, l'étendue de l'échelle logarithmique est aussi grande du côté des nombres supérieurs à 1 que du côté des nombres inférieurs à 1 (compris entre 0 et 1), ce qui revient à dire, en langage courant, qu'il y aurait autant de nombres entre 0 et 1 qu'il y en a au-delà de 1, entre 1 et l'infini... Cela peut paraître étrange car à première vue l'intervalle (0,1) a l'air bien plus restreint que l'intervalle (1,). Or, c'est pourtant la vérité, une vérité reflétant la façon incontournable de mesurer du physicien lorsqu'il explore le plus grand et le plus petit.

Pour ce faire, le physicien ne procède pas en effet par additions ou soustractions successives, opérations qui conduiraient immanquablement, on le comprend vite, à des nombres négatifs en passant par la valeur 0. Il agit par multiplications et divisions successives. Autrement dit, le scientifique examine des rapports (à l'aide de ses logarithmes) et découvre alors le même caractère d'infinitude potentielle du côté des grands nombres (des grands rapports) que du côté des petits nombres. En effet il pourra toujours multiplier tel nombre, mettons par 10, pour en obtenir un plus grand et diviser tel autre nombre par ce même 10 pour en obtenir un plus petit. Cette possibilité est très exactement la définition de l'idée d'infini que nous avons donnée. Remarquons incidemment qu'on ne peut même pas dire qu'en considérant des nombres de plus en plus grands nous nous rapprocherions de quelque frontière lointaine car, au-delà de tout nombre, quelque grand qu'il soit, il y a toujours autant de place disponible !

Dernière remarque capitale : le zéro et l'infini occupent sur cette échelle des places rigoureusement symétriques et sont donc assimilables l'un à l'autre.

Les résultats que j'ai énoncés conduisent à réviser les idées que certains, considérant que cet objet serait un nombre comme un autre, pourraient se faire sur le « zéro ». Car, physiquement parlant, n'ayant pas de logarithme, zéro n'est pas un nombre. Sur l'échelle logarithmique la « valeur » 0 se trouve hors de portée puisque, lorsqu'on considère des quantités de plus en plus petites en espérant se rapprocher de cette valeur, leur logarithme devient de plus en plus grand en valeur absolue. (Le mathématicien énonce que la fonction logarithme n'est pas définie pour la valeur zéro et qu'elle tend en ce point vers moins l'infini.)

Cependant, affirmer que le zéro est inaccessible n'est-il pas en contradiction avec le fait que nous le mentionnons souvent dans la vie courante, lorsque par exemple nous parlons d'une vitesse ou d'une distance nulle ? La méthode de mesure par logarithmes est-elle vraiment adéquate ? Le physicien ne se trompe-t-il pas ? La réponse est catégorique ; il est impossible de changer d'échelle car c'est la seule qui permette de jauger les nombres qui mettent la science en relation avec le réel. Il faut donc nous « résigner ». Sur cette échelle zéro ne possède pas de logarithme, et ne sera donc jamais mesuré.

Le concept de « zéro » est doté du même statut, symétriquement, que celui de l'infini positif. Ni l'un ni l'autre ne correspondent à des quantités mesurables. Par conséquent ces notions, qui ont certes un sens en mathématiques, ne peuvent être mises en relation avec rien de concret, rien de réel. J'insiste à dessein sur la portée de ces conclusions inéluctables car elles sont parfois oubliées des scientifiques eux-mêmes, certains prétendant qu'ils pourraient manipuler ou mesurer le zéro ou l'infini. Ainsi entend-on parler de masse nulle à propos de neutrinos; ainsi entend-on qualifier l'Univers d'infini. Mais étant donné les connotations métaphysiques attachées à ces notions non anodines (zéro : le néant; infini : Dieu), il existe un danger de propager à tort (à cause d'une science mal interprétée ou carrément fallacieuse) des contrevérités, danger en face duquel il est important et urgent de rétablir la vérité.

Ceux qui prétendent l'univers infini, je les prends au mot. Si l'Univers est infini, cela voudrait dire que quel que soit l'ordre de grandeur de la région que l'on aurait pu explorer ou du moins caractériser, il serait possible d'étendre cette connaissance à une dimension supérieure. Or, à supposer que nous ayons pu progresser jusqu'à 20 milliards d'années de lumière, en montrant par exemple que l'Univers est homogène sur cette échelle, j'assure que rien ne nous permet de démontrer que nous pourrions appliquer cette connaissance à 10 fois 20, soit 200 milliards d'années de lumière ou à 2000 milliards. Affirmer le contraire serait purement et simplement infondé. Et serait faire preuve d'abus de pouvoir (scientifique !).

Parler de grandeurs physiques nulles ou infinies n'a pas de sens.

À suivre.

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