L'EFFET DOPPLER

Supposons que je vous envoie des balles à intervalle régulier, intervalle de temps que nous noterons T_em  et qui constitue la période du phénomène, telle que je la mesure à l'émission. La vitesse des balles sera notée c de sorte que la distance entre deux balles (c'est-à-dire la longueur d'onde du phénomène périodique) est égale à c T_em . Si vous vous éloignez de moi dans la même direction que les balles (avec une vitesse qualifiée de « radiale »), vous allez cependant recevoir ces balles à une cadence inférieure car chaque balle aura à parcourir, du fait de votre éloignement, une distance supérieure à la longueur du trajet effectué par la balle qui la précède.

La distance supplémentaire qu'une balle doit parcourir par rapport à la précédente est la distance que vous allez couvrir (vous, le récepteur) dans l'intervalle de temps qui sépare la réception de la première balle et la réception de la deuxième. Nous conviendrons d'appeler T_rec cet intervalle de temps, lequel constitue en fait la période du phénomène telle que vous l'observez à la réception.

Écrivons alors que la distance totale parcourue par la deuxième balle pendant le temps T_rec à la vitesse c est la somme de la distance qu'elle aurait parcourue si vous étiez restée au repos et de la distance que vous avez parcourue réellement à la vitesse v. Algébriquement nous écrivons :

c Trec = c Tem  + v Trec .

(1)

Nous en déduisons :

Trec = Tem  / [1 - (v/c)] .

(2)

La vitesse v peut être positive (vous vous éloignez, comme dans le raisonnement) ou négative (dans ce cas vous vous rapprochez). On constate que si vous vous éloignez à une vitesse supérieure à la vitesse des balles c, vous ne recevez plus aucune balle (algébriquement, T_rec  tend vers l'infini quand v tend vers c et si v augmente encore la formule (2) n'a plus de sens).

Supposons que ce soit moi maintenant qui me déplace, en m'éloignant de vous à la vitesse v. Les balles seront plus espacées les unes des autres car pendant le temps T_em  qui sépare deux lancers, j'aurai reculé de la distance v T_em . Cette quantité mesure l'accroissement de l'intervalle de distance entre les balles, lequel passera donc de c T_em  à (c + v) T_em , quantité qui représente la nouvelle longueur d'onde du phénomène c T_rec . Comme dans le cas précédent, continuons à raisonner sur la période T_rec  du phénomène, qui devient (temps = distance sur vitesse) :

Trec = Tem ( c + v ) / c

(3)

ou

Trec = Tem [ 1 + (v / c ) ] .

(4)

L'effet Doppler est l'effet décrit par les formules (2) et (4). Il correspond au changement de période (et donc de fréquence, la fréquence étant l'inverse de la période) que subit un phénomène périodique quelconque (onde sonore, onde lumineuse, etc) lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur varie. En astronomie on s'intéresse au changement de fréquence de la lumière lorsque l'astre émetteur s'éloigne (cas fréquent, d'où la convention de signe adoptée) ou se rapproche.

Si l'on tient compte des effets relativistes, les formules (1) à (4) sont à modifier et conduisent à une seule formule, symétrique par rapport à l'émetteur et au récepteur, de sorte qu'il n'est plus besoin de préciser qui se déplace (ce qui est rassurant en relativité puisque celle-ci a précisément été conçue dans ce but !). Nous avons vu en effet dans un autre encadré que les horloges ralentissent dans le repère en mouvement, ce qui rend les temps mesurés plus courts du fameux facteur  [ 1 - (v / c )² ]^½  par rapport au repère immobile. En introduisant ce facteur dans la formule (2) pour le temps T_rec correspondant au repère en mouvement (le récepteur) et dans la formule (4) pour le temps T_em  (c'est l'émetteur qui est en mouvement), on aboutit à la formule unique

Trec = Tem ( 1 + β ) / ( 1 - β 2 ) ½ .

(5)

où

β = v / c .

(6)

En utilisant maintenant la longueur d'onde du rayonnement, on peut écrire le rapport de la longueur d'onde reçue λ_rec à la longueur d'onde émise λ_em comme

λrec / λem = ( 1 + β ) / ( 1 - β 2 ) ½ .

(7)

Lorsque la vitesses relative de déplacement de la source et du récepteur est petite par rapport à la vitesse de la lumière, c'est-à-dire lorsque  β 1 , le facteur Doppler peut se calculer pratiquement par la formule plus connue

λrec / λem = 1 + β   ,

(8)

équivalente à

Δ λ / λ = β v / c   ,

(9)

où  Δ λ  est le décalage en longueur d'onde.

Une dernière précision : d'après le raisonnement, l'effet Doppler ne résulte que de la variation de distance entre source et récepteur et ne fait donc intervenir que la composante v_rad de la vitesse le long de la direction de la lumière (ou composante radiale). En revanche la correction relativiste de ralentissement d'horloge prend en compte la vitesse totale v. Les détails du calcul sont subtils car par exemple les changements de repère en relativité affectent les mesures d'angle et donc la direction de la lumière (c'est l'effet d'aberration) de sorte que la vitesse radiale n'est pas la même dans un repère et dans l'autre. La formule générale correspondant à l'effet global observé est, en mesurant la vitesse radiale dans le repère du récepteur (la Terre) et en la comptant comme positive en cas d'éloignement de la source :

λrec / λem = [ 1 + ( vrad / c ) rec ] / [ 1 - ( v / c ) 2 ] ½   .

(10)

La théorie esquissée dans cette annexe ne prétend pas épuiser le sujet de l'effet Doppler. Pour résoudre entièrement le problème, il faut en passer par les formules de changement de repères de la relativité (qu'on appelle les transformations de Lorentz ). Pour illustrer le caractère abstrait du formalisme mis en oeuvre et l'impossibilité de le remplacer par de simples raisonnements physiques indiquons par exemple que si on exprime les angles (et donc la vitesse radiale) dans le repère de l'émetteur (l'étoile), la formule (10) devient :

λrec / λem = [ 1 - ( v / c ) 2 ] ½ / [ 1 - ( vrad / c ) em ]   .

(11)

C'est une simple question de calcul ! Pas seulement de bon sens...

Questions de cosmologie

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