LES ÉQUATIONS D'UN UNIVERS EN EXPANSION

Des formules toutes simples décrivent la géométrie de modèles d'univers courbes en expansion. À  la portée d'un bachelier et d'une modeste calculette...

Christian Magnan Collège de France, Paris Université de Montpellier II

Qu'est-ce que le « rayon » d'un modèle d'univers courbe ?

Plaçons-nous d'abord dans un univers statique et homogène. Observons deux galaxies A et B situées à la même distance r de la nôtre et dont la séparation angulaire, supposée faible, est $\theta$. Dans un univers euclidien, la distance mutuelle AB, notée d, serait donnée par la formule classique

$$d=r\theta$$ (1)

où l'angle $\theta$ est exprimé en radians. Cette formule exprime que si on observe des couples de galaxies ayant la même séparation angulaire, leur distance mutuelle sera d'autant plus grande que leur distance radiale sera grande.

Dans un univers courbe, cette propriété de proportionnalité reste approximativement valable au voisinage du point central mais au fur et à mesure qu'on s'éloigne (r augmentant) la formule devient fausse. Les écarts à la loi linéaire se font sentir à partir d'une distance dépendant évidemment de la précision demandée mais donnée en ordre de grandeur par une quantité a propre au modèle considéré et baptisée « rayon » de l'univers en question (à chaque univers son rayon). Ainsi nous allons voir qu'à une distance r égale au rayon a, les écarts dépassent les 10% (évidemment la distance à partir de laquelle la courbure apparaît dépend de la précision demandée).

Puisque les propriétés de l'espace dépendent de la valeur de la distance r des galaxies visées relativement à la valeur de ce rayon caractéristique a, il est commode de mesurer r par rapport à a en introduisant le rapport sans dimension $\chi= r/a$, quantité qui se comporte dans les équations comme un angle (compris entre 0 et $\pi$). Mesurer une distance r par un « angle » est le genre d'abstraction qu'il faut savoir accepter en géométrie non euclidienne !

La géométrie d'un espace courbe est alors résumée par deux équations, que voici :

$$r = a \chi,$$ (2)

$$d = a ({\sin} \chi)\theta.$$ (3)

Dans la pratique, le rayon de notre univers a n'est pas connu à l'avance. Il faut le déterminer à partir de la connaissance (directe ou indirecte) de r, d et $\theta$. C'est tout le problème de la cosmologie.

La formule (3) pouvant encore s'écrire

$$d=r(\sin\chi/\chi)\theta,$$ (4)

on remarque que la distance transverse d dans l'univers courbe est toujours plus petite que la distance euclidienne (1) (car $\sin\chi/\chi$ est toujours inférieur à l'unité). À une distance radiale r égale au rayon d'univers a, le paramètre angulaire $\chi$ est égal à l'unité (par définition !) et $\sin\chi/\chi$ est égal à 0,84 : la distance transverse est 16% plus faible que la formule euclidienne ne l'indiquerait.

Incidemment il existe une définition plus « concrète » du rayon a tirée des équations (2) et (3). En effet, d'après ces équations, la galaxie la plus éloignée de la nôtre (laquelle a été prise pour « centre ») se trouve à la distance $R=a\pi$ (ce qui correspond au point appelé « anticentre »). Donc en sens inverse, à partir de cette distance maximum R, qui est une grandeur plus parlante puisque marquant la dernière galaxie de l'univers, on peut définir le rayon a comme le rapport $R/\pi$.

La situation décrite jusqu'ici est celle d'une courbure dite « positive ». On peut envisager le deuxième cas d'une courbure négative, correspondant d'ailleurs à un univers infini. Les formules (2) et (3) sont alors remplacées par les suivantes:

$$r = a \chi,$$ (5)

$$d = a (\mathrm{sh}\chi)\theta,$$ (6)

où le paramètre angulaire $\chi$ n'est plus borné et où le sinus hyperbolique « sh » a remplacé le sinus trigonométrique « sin ». Ici la distance r n'est plus limitée et la distance mutuelle d est supérieure à la valeur euclidienne.

La paramètre a portant le nom de « rayon » n'est, ni dans le cas fini ni dans le cas infini, un véritable « rayon ». Il est important de souligner (voir la question de la prétendue « platitude » de notre Univers) qu'il s'agit d'une longueur (ou, de façon équivalente, un temps car nous conviendrons de mesurer les distances en années de lumière). En particulier, contrairement à ce qu'on lit parfois, ce n'est pas un rapport sans dimensions. Notre propre Univers a vraisemblablement un rayon se comptant en dizaines de milliards d'années de lumière.

Formules d'un univers en expansion

Dans un univers en expansion les formules précédentes sont encore valables (quoiqu'en toute rigueur, à cause de l'adjonction de la quatrième dimension qu'est le temps, leur écriture diffère dans le détail) mais le rayon d'univers a devient fonction du temps. Les équations qui traduisent l'évolution de l'univers sont extrêmement simples. Le rayon d'univers a et l'âge de l'univers t (en années) sont données conjointement sous forme dite « paramétrique », c'est-à-dire en fonction d'une nouvelle variable convenable $\eta$ qui représente un angle et qui, augmentant au cours de l'évolution, caractérise la phase de cette dernière.

Pour un univers fini, $\eta$ varie entre 0 et $2\pi$. La phase d'expansion s'achève pour $\eta =\pi$ alors que le rayon a atteint sa valeur maximum. Après quoi le rayon d'univers se met à diminuer pour tendre vers zéro lorsque $\eta$ tend vers $2\pi$. Les formules sont

$$a=(A/2)(1 - \cos\eta)$$ (7)

$$t=(A/2)(\eta - \sin\eta)$$ (8)

où A est un paramètre qui caractérise entièrement l'Univers considéré. (Je rappelle que dans ces formules les quantités a et t sont exprimées en unité de temps, disons en secondes. Si on tenait à exprimer la longueur a en centimètres, il faudrait multiplier le membre de droite de l'équation (7) par c, vitesse de la lumière en centimètres par seconde.)

L'interprétation physique de ce paramètre A est la suivante. On constate sur les équations que pour des valeurs « moyennes » de $\eta$ l'âge t de l'Univers devient du même ordre de grandeur que son rayon a (alors qu'à l'origine, t est infiniment plus petit que a) et tous deux deviennent ensemble du même ordre de grandeur que le fameux A. À ce stade la courbure universelle peut être détectée car la profondeur d'espace explorée est assez grande (alors que ce n'était pas le cas auparavant). Cet âge A représente donc l'âge de maturité de l'Univers. Il varie d'un Univers à l'autre et caractérise la rapidité d'évolution (en années !) de chacun. Nous proposons de conserver ce terme de « âge de maturité » pour désigner le paramètre A.

D'après l'équation (7), cet âge de maturité A représente aussi le rayon de l'Univers au moment de son état d'expansion maximale.

Les formules d'un univers infini, pour lequel $\eta$ varie entre zéro et l'infini et où le rayon a croît indéfiniment, sont les suivantes:

$$a=(A/2)(\mathrm{ch}\eta - 1)$$ (9)

$$t=(A/2)(\mathrm{sh}\eta - \eta)$$ (10)

Dans le cas infini, la signification physique du paramètre A est la même que dans le cas fini. C'est l'âge autour duquel se manifestera la courbure. On peut donc l'appeler ici aussi l'« âge de maturité » de l'univers.

Remarques

I. Les formules (7-8) et (9-10) correspondent au cas où la densité de matière est plus grande que celle du rayonnement, ce qui est la situation dans la phase actuelle d'expansion de notre Univers. À l'origine (lors du big-bang), c'est la situation inverse qui prévaut et il faut utiliser des formules un peu différentes. Cependant si la forme des équations diffère, leur signification reste la même de sorte que la pertinence de la remarque suivante n'est pas entamée.

II. Les équations précédentes déterminent complètement l'évolution d'un univers une fois que celui-ci a été « choisi ». Autrement dit, il n'est pas possible de changer les caractéristiques d'un univers en cours de route (ce qui n'est pas très étonnant !). Plus précisément, le choix d'un univers se fait en deux temps. Il faut d'abord choisir son type, fini ou infini, c'est-à-dire opter soit pour les équations (7-8) soit pour les équations (9-10). Puis il faut se donner l'âge de maturité A, paramètre caractérisant, rappelons-le, la vitesse d'évolution de l'univers. Alors toutes les propriétés de l'univers sont fixées au cours du temps, comme nous allons en donner des exemples (cette remarque est d'une importance capitale dans les discussions autour du prétendu choix des paramères initiaux d'un univers).

Propriétés d'un univers en expansion

Examinons d'abord le cas d'un modèle d'univers fini.

La vitesse d'expansion de l'univers, mesurée observationnellement par la constante de Hubble, est donnée par la formule

$$H \equiv (1/a)(da/dt) = (2/A) \sin\eta(1-\cos\eta)^{-2}$$ (11)

On constate que le taux d'expansion est infini à l'origine.

La constante ${\Omega}$ égale au rapport de la densité instantanée de l'univers à la densité critique évaluée au même instant s'exprime très simplement comme

$$\Omega=\frac{2}{1+\cos\eta}$$ (12)

Ce paramètre caractérise également la décélération de l'univers. On vérifie en effet que

$$\Omega\equiv -2a(d^2a/dt^2)(da/dt)^{-2}$$ (13)

Pour un modèle infini,

$$H \equiv (1/a)(da/dt) = (2/A) \mathrm{sh}\eta(1-\mathrm{ch}\eta)^{-2}$$ (14)

$$\Omega=\frac{2}{1+\mathrm{ch}\eta}$$ (15)

On constate sur les formules (12) et (15) que ${\Omega}$ part de la valeur unité à la naissance de l'univers ($\eta=0$) et croît ensuite dans le cas d'un univers fini tandis qu'il décroît dans le cas infini. Savoir si ${\Omega}$ est supérieur ou inférieur à l'unité permet donc de reconnaître le genre du modèle (fini ou infini).

Pour fabriquer ce document, j'ai utilisé le traducteur LaTeX2HTML Version 98.1p1 (March 2nd, 1998)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.

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Dernière modification : 21 février 2005