Les « naines blanches » sont des étoiles très petites. Il est facile d'en estimer grossièrement la taille.

Ces astres tirent leur équilibre de la compensation entre deux types de forces : les forces attractives de la gravité et les forces répulsives d'origine quantiques résultant du confinement des électrons dans un volume réduit.

Faisons des calculs d'ordre de grandeur.

Soit N le nombre total de noyaux atomiques de l'étoile, pris comme des protons de masse m_H  pour simplifier. La masse totale de l'étoile est :

M = N mH .

(1)

Ces N particules sont réparties dans un volume R ³, grossièrement parlant, si R est le rayon de l'étoile. En conséquence est alloué à chacune un cube élémentaire de volume R ³ / N . La distance mutuelle a moyenne de deux particules voisines est de l'ordre de la longueur d'arête de ce cube, c'est-à-dire :

a = ( R3 / N ) 1/3 = R / N 1/3   .

(2)

Cette distance est aussi la distance moyenne qui sépare deux électrons. En vertu des relations de mécanique quantique, il correspond à cette quantité a une impulsion

me v = h / a ,

(3)

où m_e est la masse de l'électron et h la constante de Planck divisée par 2. L'énergie cinétique moyenne par électron est donc :

(1/2) me v 2 = h 2 / ( 2 me a 2 ) .

(4)

En remplaçant a par sa valeur donnée par la formule (2), cette énergie s'exprime en fonction du rayon R de l'étoile comme

(1/2) me v 2 = h 2 N 2/3 / ( 2 me R 2 ) .

(5)

À cette énergie d'agitation s'oppose l'énergie gravitationnelle qui, pour toute l'étoile est de l'ordre de G M ² / R , G étant la constante de la gravitation, ce qui fait ( 1 / N ) G M ² / R   par noyau ou encore, en tenant compte de la formule (1) ,

G N mH 2 / R .

(6)

L'énergie totale moyenne par atome s'écrit donc :

h 2 N 2/3 / ( 2 me R 2 ) - G N mH 2 / R .

(7)

Cette énergie, différence d'un terme en ( 1 / R ² ) et d'un terme en ( 1 / R ) est particulièrement importante en physique, car c'est aussi la forme de l'énergie d'un électron dans le champ d'un proton. Le point crucial est que cette énergie possède un minimum, lequel correspond à un équilibre stable (d'où l'explication de la stabilité de l'atome d'hydrogène). Cet équilibre est réalisé au moment où le premier terme est égal à la moitié du second, ce qui correspond - en remplaçant N par l'expression (1) - à la valeur du rayon

R = h 2 / [ G me mH2 ( M / mH )1/3 ] .

(8)

Sachant qu'une naine blanche a environ la masse du Soleil (2×10³³ grammes), on trouve une valeur de son rayon de l'ordre de 6 000 kilomètres, c'est-à-dire la dimension de la Terre. Cet ordre de grandeur est correct. Il signifie incidemment que la masse d'un centimètre cube (un dé à coudre) de naine blanche se mesure en tonnes !

L'équilibre d'une étoile à neutrons obéit formellement aux mêmes lois, à ceci près que le degré de compacité est tel que nous n'avons plus affaire à des électrons car ceux-ci se sont recombinés aux noyaux pour former des neutrons de masse m_H . Notre étoile est maintenant constituée de neutrons et pour trouver son rayon il convient de remplacer m_e , la masse de l'électron, par m_H , celle du neutron, dans la formule (8). On trouve une valeur un millier de fois plus faible, de l'ordre maintenant de quelques kilomètres. La masse par unité de volume est, elle, un milliard de fois plus grande, de l'ordre de grandeur, absolument phénoménal, de la densité du proton lui-même !

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