ORTHODROMIE

Nous écrivons les angles en radians. Comme les latitudes et les longitudes sont exprimées d'ordinaire en degrés, il faudra faire les conversions nécessaires.
Pour passer des degrés au radians:
$1\deg = \pi/180$ radians.
De même en utilisant les fonctions Arccos ou Arcsin, vérifier quelles sont les unités choisies par le calculateur.
Parfois même les longitudes sont données en heures, minutes et secondes. 24 heures correspondent à 360 degrés, donc 1 heure à 15 degrés.

Nous nous proposons de calculer la distance à vol d'oiseau de deux points de la surface terrestre. Sur la sphère le chemin le plus court pour aller du point A au point B consiste à suivre le grand cercle passant par ces points. La plus courte distance de A à B, appelée distance orthodromique, est égale à la longueur de l'arc AB sur ce cercle. Un tel chemin représente aussi une géodésique sur la surface. Le principe de calcul est le suivant. Pour connaître l'arc AB il suffit de déterminer l'angle de sommet O (le centre de la Terre) sous-tendu par le segment AB. On commence par calculer la longueur du segment (rectiligne) AB. Puis le sinus de la moitié de l'angle AOB est égal au rapport de AB/2 au rayon de la sphère. On en déduit la valeur de l'angle cherché.

Considérons un repère orthonormé Oxyz. Soient $\theta$ et $\phi$ les coordonnées angulaires d'un point M sur la sphère. $\theta$ est l'angle entre l'axe Oz et le rayon OM (c'est la colatitude de M; sa latitude est $\pi/2-\theta$ ), $\phi$ est l'angle azimutal, c'est-à-dire l'angle polaire que fait la projection de OM sur le plan xOy avec l'axe Ox.

Les coordonnées cartésiennes des points A (point 1) et B (point 2) s'expriment en fonction des coordonnées polaires par les formules classiques (nous prenons le rayon de la sphère pour unité)

		$\displaystyle x_1 = \sin \theta_1 \cos\phi_1$
		$\displaystyle y_1 = \sin \theta_1 \sin\phi_1$	(1)
		$\displaystyle z_1 = \cos\theta_1$

		$\displaystyle x_2 = \sin \theta_2 \cos\phi_2$
		$\displaystyle y_2 = \sin \theta_2 \sin\phi_2$	(2)
		$\displaystyle z_2 = \cos\theta_2$

Le carré de la longueur du segment AB (c'est-à-dire du tunnel virtuel sous Terre) est

$\begin{displaymath}\mathrm{AB}^2 = 2 \ [1 - \sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_2-\phi_1) -\cos\theta_1\cos\theta_2 ] \end{displaymath}$

(3)

La distance rectiligne h=AB/2 représente le sinus de la moitié de l'angle au centre AOB recherché (nous avons pris le rayon de la sphère comme unité de longueur). Autrement dit

$\begin{displaymath}\mathrm{arc (AB)} = 2\ \mathrm{Arcsin} h \end{displaymath}$

(4)

$\begin{displaymath}h^2= [1 - \sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_2-\phi_1) -\cos\theta_1\cos\theta_2 ]/2 \end{displaymath}$

(5)

$\begin{displaymath}\cos2u = 1 -2 \sin^2 u \end{displaymath}$

(6)

$\begin{displaymath}\cos(2\ \mathrm{Arcsin}h)= 1 - 2\sin^2(\mathrm{Arcsin}h) \end{displaymath}$

(7)

$\begin{displaymath}\cos(2\ \mathrm{Arcsin}h) =1 - 2h^2 \end{displaymath}$

(8)

$\begin{displaymath}2\ \mathrm{Arcsin}h = \mathrm{Arccos}(1-2h^2) \end{displaymath}$

(9)

Par conséquent la distance orthodromique entre A et B est (en tenant compte de l'équation (5))

$\begin{displaymath}\mathrm{arc(AB)} = \mathrm{Arccos}\ [\sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos(\phi_2-\phi_1) + \cos\theta_1\cos\theta_2] \end{displaymath}$

(10)

Sur Terre on repère un point par sa latitude et sa longitude. La latitude lat est le complément à $\pi/2$ de la colatitude $\theta$ , c'est-à-dire que $lat = \pi/2 - \theta$ . En notant R le rayon terrestre (soit 6378 kilomètres, rayon équatorial moyen) et en notant long la différence de longitude $\phi_2-\phi_1$ entre les deux points, nous écrirons la formule finale:

Considérons maintenant une troisième ville C, de coordonnées sphériques angulaires $\theta_3$ et $\phi_3$ . Amusons-nous à calculer l'angle entre la géodésique allant de B à A et celle allant de B à C, autrement dit l'angle curviligne ABC. Pour mener le calcul je reviens aux coordonnées sphériques initiales en utilisant la colatitude $\theta$ et non pas la latitude lat.

Le premier pas consiste à trouver la tangente à une géodésique en un point. Occupons nous de trouver au point B la tangente à la géodésique BA. Cette tangente se trouve à la fois dans le plan OAB et dans le plan perpendiculaire à OB, ce qui suffit à la définir.

Notons ( $\alpha_{21}, \beta_{21}, \gamma_{21}$ ) les composantes de la tangente $\vec{T_{21}}$ recherchée. Comme elle est perpendiculaire au vecteur $\vec{OB}$ de composantes $(\sin\theta_2\cos\phi_2, \sin\theta_2\sin\phi_2, \cos\theta_2)$ , nous écrivons que le produit scalaire ( $\vec{T_{21}}.\vec{OB}$ ) est nul, soit

$\begin{displaymath}\alpha_{21}\sin\theta_2\cos\phi_2 +\beta_{21}\sin\theta_2\sin\phi_2 + \gamma_{21}\cos\theta_2 = 0 \end{displaymath}$

(11)

Pour exprimer que $\vec{T_{21}}$ est dans le plan défini par $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ nous disons qu'il existe deux nombres $\lambda_{21}$ et $\mu_{21}$ tels que $\vec{T_{21}} = \lambda_{21}\vec{OA} + \mu_{21}\vec{OB}$ , ce qui s'écrit à l'aide des composantes des vecteurs comme

$\displaystyle \alpha_{21}$	$\displaystyle = \lambda_{21}\sin\theta_1\cos\phi_1 + \mu_{21}\sin\theta_2\cos\phi_2$
$\displaystyle \beta_{21}$	$\displaystyle = \lambda_{21}\sin\theta_1\sin\phi_1 + \mu_{21}\sin\theta_2\sin\phi_2$	(12)
$\displaystyle \gamma_{21}$	$\displaystyle = \lambda_{21}\cos\theta_1 + \mu_{21}\cos\theta_2$

En transportant ces valeurs dans l'équation (11) exprimant l'orthogonalité de $\vec{T_{21}}$ et de $\vec{OB}$ , nous trouvons que $\lambda_{21}$ et $\mu_{21}$ doivent satisfaire à l'équation

$\begin{displaymath} \mu_{21} + \lambda_{21}[\sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2] = 0 \end{displaymath}$

(13)

(Je remercie bien sincèrement le lecteur attentif C.D. qui m'a signalé une erreur dans la version initiale de cette formule : j'avais malencontreusement interverti les "lambda" et les "mu")

		$\displaystyle \lambda_{21} = -1$
		$\displaystyle \mu_{21} = [\sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2]$	(14)

Il suffit de transporter ensuite ces valeurs dans les formules (12) pour obtenir les composantes cherchées du vecteur $\vec{T_{21}}$ tangent en B à la géodésique allant de B vers A.

En procédant de même avec les points B et C on trouvera les composantes de la tangente $\vec{T_{23}}$ en B à la géodésique menant de B à C comme

$\displaystyle \alpha_{23}$	$\displaystyle = \lambda_{23}\sin\theta_3\cos\phi_3 + \mu_{23}\sin\theta_2\cos\phi_2$
$\displaystyle \beta_{23}$	$\displaystyle = \lambda_{23}\sin\theta_3\sin\phi_3 + \mu_{23}\sin\theta_2\sin\phi_2$	(15)
$\displaystyle \gamma_{23}$	$\displaystyle = \lambda_{23}\cos\theta_3 + \mu_{23}\cos\theta_2$

		$\displaystyle \lambda_{23} = -1$
		$\displaystyle \mu_{23} = [\sin\theta_3\sin\theta_2\cos(\phi_3-\phi_2) + \cos\theta_3\cos\theta_2]$	(16)

Pour terminer, l'angle entre les deux vecteurs $\vec{T_{21}}$ et $\vec{T_{23}}$ sera donné par son cosinus:

$\begin{displaymath}\cos(\vec{T_{21}},\vec{T_{23}}) = \frac {\vec{T_{21}}.\vec{T_... ...\phantom{T}\left[\vec{T_{21}}^2 \vec{T_{23}}^2\right]^{(1/2)}} \end{displaymath}$

(17)

On trouvera une illustration de ces formules dans une page consacrée à la courbure des univers et plus spécialement au concept de « platitude ».

Incidemment si vous voulez trouver la latitude et la longitude de n'importe quel endroit dans le monde allez sur le site fameux qui permet de vous donner les heures de passage des divers satellites au-dessus de votre tête. Sont répertoriées deux millions de localités dans le monde !

L'aspect plus « nautique » de la question du plus court chemin d'un point à un autre, question cruciale pour les navigateurs, est abordée par Giles Hainry. Il y définit notamment ce qu'est une route « loxodromique ».

Enfin, l'analyse de ce qu'est la courbure de l'Univers repose sur des formules analogues à celles présentées ici.

Quel est sur une sphère le plus court chemin d'un point à un autre ? Combien valent les angles d'un triangle sphérique ? Formules, formules...