À supposer qu'il y ait une chance sur deux que la photo d'un-e élève isolé-e soit réussie, la chance pour que la photo d'une classe de trente élèves soit réussie n'est que d'un milliardième.
À méditer : les nombres que manipulent les calculs de probabilité peuvent s'avérer fabuleusement grands ou prodigieusement petits et de ce fait dépasser d'un coup, et de fort loin, toute échelle physique.

Classe CP-CE1 École Chantelle

Supposons que nous prenions des photos de groupes. Faisons l'hypothèse (gratuite !) qu'il y ait une chance égale que la photo d'une personne prise isolément soit réussie ou ratée. Autrement dit, sur l'épreuve finale une personne donnée a une chance sur deux de voir sa propre image réussie. (Il ne s'agit bien sûr que d'un problème théorique ; pour ceux que l'hypothèse gênerait, je donne en fin de page une autre illustration du même calcul qui, basée sur des séries de pile ou face, est plus « réaliste ».)

Problème : quelle est la probabilité qu'une photo de groupe de n personnes (disons une classe d'élèves) soit réussie ?

Le calcul peut se conduire de la façon suivante.

Il existe un certain nombre de photos possibles de la classe. Une d'entre elles sera par exemple celle où la photo de Pierre, Annette, Lucie, Justine, Adrien... sera réussie alors que la photo de Laetitia, Guillaume, Nicolas, Laura... sera ratée. Dans une autre Pierre, Laetitia, Laura, Lucie, Éric... auront leur photo réussie alors que Annette, Justine, Adrien, Guillaume, Nicolas, Julien, Elsa... auront leur photo ratée. Et ainsi de suite. Dans chaque épreuve un élève donné verra ou sa photo réussie (ce que nous pourrons noter symboliquement par « O », pour « oui ») ou sa photo ratée (ce que nous pourrons noter par « N », pour « non »).

Tout se passe alors comme si prendre une photo de la classe consistait à tirer au sort un élément parmi cet ensemble de photos possibles. La probabilité de réussir la photo de classe est donc égale à une chance sur le nombre total de possibilités.

Le problème se ramène à calculer le nombre total de photos possibles.

Le calcul se fait de proche en proche en regardant comment augmente le nombre de photos possibles chaque fois qu'on rajoute un élève. Eh bien, montrons que chaque fois qu'on rajoute un élève le nombre de photos possibles est multiplié par deux.

Pour un élève pris isolément il y a deux possibilités : soit sa photo est réussie, soit elle est ratée. Il y a une chance sur deux de la réussir.

Pour deux élèves Thomas et Jeanne, à chaque possibilité sur Thomas (photo réussie ou ratée, c'est-à-dire O ou N) correspond deux possibilités sur Jeanne (réussie ou ratée, soit O ou N). On a donc en tout 2 × 2 = 4 photos possibles à savoir les cas :
00, ON, NO, NN,

Seule la photo OO est réussie. Il y a donc une chance sur quatre qu'une photo des deux élèves soit réussie (toujours, évidemment, dans le cadre de nos hypothèses initiales).

Ajoutons Sylvie. À l'ensemble des cas précédents possibles sans Sylvie (à savoir les quatre {OO, ON, NO, NN}) correspondra maintenant deux séries d'épreuves : la série où la photo de Sylvie est réussie et la série où elle est ratée. On aura donc deux fois plus de photos possibles que précédemment, ce qui représente 2 × 4 = 8 cas possibles. (Symboliquement on peut rajouter soit O soit N à la suite précédente pour obtenir {OOO, ONO, NOO, NNO}+{OON, ONN, NON, NNN})

Il y a une chance sur huit qu'une photo de Thomas, Jeanne et Sylvie soit réussie.

On aura compris le raisonnement. Si à un groupe donné de n élèves on rajoute un élève, disons Grégoire, à chaque photo possible du groupe initial correspondront deux photos du groupe avec Grégoire en plus, celle où sa photo est réussie et celle où elle est ratée. Donc le nombre de photos possibles du groupe de n+1 élèves est deux fois plus grand que le nombre de photos du groupe de n élèves.

Écrivons la suite de ces nombres pour 1, 2, 3, ... élèves, nombres obtenus en opérant des multiplications successives par 2, ce qui est ultra-simple sur une calculette (cette suite s'appelle la suite des puissances de 2) :

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

Arrêtons-nous à ce dernier résultat. Le nombre de photos possibles d'un groupe de 10 élèves est de 1024. Sur une seule d'entre elles (la photo OOOOOOOOOO) tous les élèves seront réussis. Autrement dit la probabilté pour qu'une photo de 10 élèves soit réussie est de 1/1024 (dans la suite de cet exposé je remplacerai 1024 par 1000 pour rendre les calculs plus simples).

Autrement dit encore (la chose est démontrée dans une annexe) il faut prendre en moyenne 1000 photos pour avoir une chance de la réussir.

Des milliers de photos pour une petite classe de dix élèves : bigre !

Multiplions par trois le nombre d'élèves. Combien de photos faut-il faire en moyenne pour réussir une photo de classe de trente élèves ?

La mauvaise réponse est trois fois plus. En réalité, à une addition sur le nombre d'élèves correspond une multiplication sur le nombre de photos. Et comme 30 c'est 10 + 10 + 10 , le nombre de photos possibles d'une classe de 30 élèves est 1000 × 1000 × 1000 soit un milliard. En notation de puissances de 10, on écrit
10³ × 10³ × 10³ = 10³⁺³⁺³ = 10⁹ = un milliard.

Il faudrait prendre des milliards de photos pour réussir une photo de classe de trente élèves : fichtre !

Passons maintenant à un congrès de 300 personnes.

300 c'est 10 fois une addition 30 (30+30+30+30+30+30+30+30+30+30). Par conséquent puisqu'il y avait 10⁹ possibilités de photos pour 30 personnes, il y en aura 10^9×10, soit 10⁹⁰, pour un groupe de 300 personnes. Or un tel nombre dépasse maintenant notre échelle physique puisque 10⁹⁰ est plus grand que le nombre d'atomes dans notre Univers !

La probabilité de réussir la photo d'un groupe de 300 personnes (dans le cadre de mes hypothèses) est, en pratique, nulle.

Les points sur lesquels cette histoire de photo de classe me permet d'attirer l'attention sont les suivants :

• Quand on fait des calculs de probabilité, on peut atteindre très facilement et très rapidement des nombres immensément grands. En effet, l'énoncé « Quel est le nombre de photos possibles d'un groupe de 300 personnes ? » semble innocent et inoffensif mais conduit pourtant à de tels nombres.
• Ces nombres s'expriment très aisément sur l'échelle des puissances de 10 (nous avons affaire à un simple exposant de 90 dans le cas précédent). Autrement dit, du point de vue mathématique, bien qu'ils puissent atteindre des valeurs très grandes (par exemple des milliards) les exposants de 10 n'en demeurent pas moins calculables.
• Cependant les nombres physiques sont de nature différente des nombres mathématiques. En physique, c'est-à-dire dans notre monde réel, les exposants des puissances de 10 sont toujours (grossièrement parlant) des nombres à seulement deux chiffres (et certainement pas à un milliard ni même à sept ou huit chiffres !).
• Ainsi il est facile (très facile, trop facile...) de dépasser toute échelle physique dans un calcul de probabilité.

En conséquence, si la probabilité (mathématique) que tel événement se produise s'avère trop faible vis-à-vis des nombres physiques (bien que cette probabilité s'exprime aisément par un nombre mathématique), nous devons conclure que, réellement parlant, cet événement n'a aucune chance de se produire. L'un des meilleurs exemples de ce cas est la fameuse histoire du singe au clavier d'une machine à écrire.

Enfin on sait que la possibilité d'existence d'une vie extra-terrestre repose actuellement sur un calcul de probabilité. Or on connaît grossièrement le nombre de planètes, donc le nombre d'essais possibles, dans une galaxie. Il est de l'ordre de mille milliards, c'est-à-dire égal au nombre de photos d'une classe de 40 élèves qu'il faut prendre pour avoir quelque chance de réussir un exemplaire.

C'est clair : relativement à un calcul de probabilité, le nombre de planètes dans notre Galaxie ne représente vraiment pas grand chose. Alors bon, merci d'arrêter de nous rebattre les oreilles avec l'affirmation de la prétendue foultitude des mondes !

Dans le contexte de notre historiette, l'estimation de la probabilité qu'il existe d'autres planètes habitées se réduit à la question triviale : faut-il plus d'essais ou moins d'essais pour « réussir la vie » que pour réussir une photo de classe de quarante élèves ?

Je n'ai jamais soutenu que la réponse était triviale.

Enfin, de mauvais esprits ayant critiqué l'hypothèse sur laquelle se base mon calcul - à savoir qu'il y a une chance sur deux de réussir la photo d'un élève -, voici une autre illustration plus réaliste du même calcul.

Le processus aléatoire binaire le plus banal est sans doute le tir à « pile ou face ». Or, réussir à tirer le même côté, disons pile, n fois de suite, c'est comme réussir la photo de n élèves. En effet dans les deux cas il faut « gagner » n fois, tout en sachant que la probabilité de gagner un coup est de une chance sur deux.

Le calcul précédent s'applique tel quel. Symboliquement, en désignant pile par P et face par F, il s'agit de réaliser une séquence de n P (c'est-à-dire la séquence PPPP...P, où P, et seulement P, apparaît n fois)

Donc il y a 1 chance sur 4 de tirer pile deux fois de suite (les séquences possibles sont {PP, PF, FP, FF}), 1 sur 8 de tirer pile 3 fois de suite (réaliser la séquence PPP), etc. Il y a 1 chance sur 1024 (disons 1000) de tirer pile 10 fois de suite (réaliser PPPPPPPPPP), 1 sur un milliard de tirer pile 30 fois de suite, 1 sur mille milliards (grossièrement le nombre de planètes dans notre Galaxie) de tirer pile 40 fois de suite.

La chance de tirer pile 300 fois de suite est de 1 sur 10⁹⁰, c'est-à-dire nulle en pratique. Il est absolument impossible dans notre monde de réaliser une suite de 300 piles.

Alors qu'il est facile de l'écrire (comme il est facile de calculer sa probabilité d'obtention). La preuve :
 
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

Avantage du jeu de pile ou face sur les photos : c'est plus facile à expérimenter... si vous ne croyez pas les calculs.

Dernière remarque sur les calculs de probabilité : il est tout aussi impossible de réaliser la séquence donnée suivante de 300 coups (il se trouve que j'ai choisi d'écrire une séquence aléatoire mais ce fait n'a aucune importance : la remarque serait exactement la même pour une séquence fabriquée selon une certaine loi, par exemple une alternance de pile et face) :
 
FFPFFFPPFFFPFFFFPFPPPPPPFFPFPF FFPPPPPFFFFPFFFFFFFFPFPPPFFPFP
PFFPFPFPFPPPPPPPPPPFFPPPPPFPPP FFPPFFFPPFFPPFPPPPPFFFPPPFPPPP
FPFFPPPPPFFFPFPPPFFFPFFFFPPPFP PPPFFFFPFPPPPFPPFPPPPFPFPPFPPP
FPPPPPPFPPFFPFFPFPFFPPPPPPFPFF FPPFFFFPPPFPPPFFPPPPFFFPPFPFFP
FPFFPPFFPFFPFPPPFPPFPFPPPFPPPF PPFPFPPPPPPFFFFFPPFPPPPPFFPFPF

Autre façon de dire les choses : si vous effectuez un tirage de 300 coups, vous obtiendrez évidemment une certaine séquence (une parmi 10⁹⁰) mais il n'est pas possible de prévoir laquelle... Et une fois obtenue, il sera impossible de la reproduire !

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Dernière modification : 28 septembre 2006